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とあるゲームの最大連勝数の期待値

勝率p = 0.6のゲームがあったとして, x回やったときの最大連勝数の期待値E(x)はいくつか? という話. (元ネタは人狼オンライン...)
式を考えるのが面倒だったのでPythonの練習がてらモンテカルロる(誰か式教えて...). 

最大連勝数の期待値

結果

|   x |     E(x) |
|----:|---------:|
|   10|    3.5264|
|   20|     4.812|
|   30|    5.5511|
|   40|    6.0917|
|   50|     6.558|
|   60|    6.8769|
|   70|    7.2235|
|   80|    7.4595|
|   90|    7.6671|
|  100|    7.8445|
|  110|    8.0861|
|  120|    8.2694|
|  130|    8.3864|
|  140|    8.5268|
|  150|    8.6831|
|  160|    8.8097|
|  170|    8.8772|
|  180|    9.0426|
|  190|    9.1298|
|  200|    9.2271|
|  210|    9.2799|
|  220|    9.4045|
|  230|    9.4813|
|  240|    9.5403|
|  250|    9.6695|
|  260|    9.7226|
|  270|    9.7855|
|  280|    9.9046|
|  290|    9.9533|